深入剖析位运算

什么是位运算呢？

程序中的所有数都是在计算机内存中都是以二进制的形式储存的。说白了，就是在内存中直接对整数进行操作。由于位运算直接对内存数据进行操作，不需要转成十进制，因此处理速度非常快。下面将讲解一下如何用位运算优化你的程序。

各种位运算的使用
=== 1. &运算===
&运算通常用于二进制取位操作，例如一个数& 1的结果就是取二进制的最末位。这可以用来判断一个整数的奇偶，二进制的最末位为0表示该数为偶数，最末位为1表示该数为奇数.

=== 2. |运算===
|运算通常用于二进制特定位上的无条件赋值，例如一个数|1的结果就是把二进制最末位强行变成1。如果需要把二进制最末位变成0，对这个数| 1之后再减一就可以了，其实际意义就是把这个数强行变成最接近的偶数。

=== 3.^运算===
^运算通常用于对二进制的特定一位进行取反操作，因为异或可以这样定义：0和1异或0都不变，异或1则取反。
^运算的逆运算是它本身，也就是说两次异或同一个数最后结果不变，即(a ^ b) ^ b = a。xor运算可以用于简单的加密。
下面我们看另外一个东西。定义两个符号#和@，这两个符号互为逆运算，也就是说(x # y) @ y = x。现在依次执行下面三条命令，结果是什么？
x <- x # y
y <- x @ y
x <- x @ y
执行了第一句后x变成了x # y。那么第二句实质就是y <- x # y @ y，由于#和@互为逆运算，那么此时的y变成了原来的x。第三句中x实际上被赋值为(x # y) @ x，如果#运算具有交换律，那么赋值后x就变成最初的y了。这三句话的结果是，x和y的位置互换了。
加法和减法互为逆运算，并且加法满足交换律。把#换成+，把@换成-，我们可以写出一个不需要临时变量的swap过程。

<span style="font-size: 13px;">void swap(int &a, int &b)
{
	a = a ^ b;
	b = a ^ b;
	a = a ^ b;
}</span>

好了，刚才不是说^的逆运算是它本身吗？于是我们就有了一个看起来非常诡异的swap过程。

=== 4. ~运算===

~运算的定义是把内存中的0和1全部取反。使用~运算时要格外小心，你需要注意整数类型有没有符号。如果~的对象是无符号整数（不能表示负数），那么得到的值就是它与该类型上界的差，因为无符号类型的数是用$0000到$FFFF依次表示的。下面的两个程序（仅语言不同）均返回65435。

<span style="font-size: 13px;">#include <stdio.h>
int main()
{
	unsigned short a=100;
	a = ~a;
	printf( "%d\n", a ); 
	return 0;
}</span>

如果~的对象是有符号的整数，情况就不一样了，稍后我们会在“整数类型的储存”小节中提到。

=== 5. <<运算===
a << b就表示把a转为二进制后左移b位（在后面添b个0）。例如100的二进制为1100100，而110010000转成十进制是400，那么100 << 2 = 400。可以看出，a shl b的值实际上就是a乘以2的b次方，因为在二进制数后添一个0就相当于该数乘以2。
通常认为a << 1比a * 2更快，因为前者是更底层一些的操作。因此程序中乘以2的操作请尽量用左移一位来代替。
定义一些常量可能会用到<<运算。你可以方便地用1 << 16 – 1来表示65535。很多算法和数据结构要求数据规模必须是2的幂，此时可以用shl来定义Max_N等常量。

=== 6. >>运算===
和<<相似，a >> b表示二进制右移b位（去掉末b位），相当于a除以2的b次方（取整）。我们也经常用>> 1来代替div 2，比如二分查找、堆的插入操作等等。想办法用>>代替除法运算可以使程序效率大大提高。最大公约数的二进制算法用除以2操作来代替慢得出奇的mod运算，效率可以提高60%。

位运算的简单应用
有时我们的程序需要一个规模不大的Hash表来记录状态。比如，做数独时我们需要27个Hash表来统计每一行、每一列和每一个小九宫格里已经有哪些数了。此时，我们可以用27个小于2^9的整数进行记录。例如，一个只填了2和5的小九宫格就用数字18表示（二进制为000010010），而某一行的状态为511则表示这一行已经填满。需要改变状态时我们不需要把这个数转成二进制修改后再转回去，而是直接进行位操作。在搜索时，把状态表示成整数可以更好地进行判重等操作。这道题是在搜索中使用位运算加速的经典例子。以后我们会看到更多的例子。
下面列举了一些常见的二进制位的变换操作。

功能 |示例 |位运算
———————-+—————————+——————–
去掉最后一位| (101101->10110) | x shr 1
在最后加一个0 | (101101->1011010) | x shl 1
在最后加一个1 | (101101->1011011) | x shl 1+1
把最后一位变成1 | (101100->101101)| x or 1
把最后一位变成0 | (101101->101100)| x or 1-1
最后一位取反| (101101->101100)| x xor 1
把右数第k位变成1 | (101001->101101,k=3) | x or (1 shl (k-1))
把右数第k位变成0 | (101101->101001,k=3) | x and not (1 shl (k-1))
右数第k位取反 | (101001->101101,k=3) | x xor (1 shl (k-1))
取末三位 | (1101101->101) | x and 7
取末k位 | (1101101->1101,k=5) | x and (1 shl k-1)
取右数第k位 | (1101101->1,k=4) | x shr (k-1) and 1
把末k位变成1 | (101001->101111,k=4) | x or (1 shl k-1)
末k位取反 | (101001->100110,k=4) | x xor (1 shl k-1)
把右边连续的1变成0| (100101111->100100000)| x and (x+1)
把右起第一个0变成1| (100101111->100111111)| x or (x+1)
把右边连续的0变成1| (11011000->11011111) | x or (x-1)
取右边连续的1 | (100101111->1111) | (x xor (x+1)) shr 1
去掉右起第一个1的左边| (100101000->1000) | x and(x xor (x-1))

最后这一个在树状数组中会用到。

整数类型的储存
我们前面所说的位运算都没有涉及负数，都假设这些运算是在unsigned/word类型（只能表示正数的整型）上进行操作。但计算机如何处理有正负符号的整数类型呢？下面两个程序都是考察16位整数的储存方式

<span style="font-size: 13px;">#include <stdio.h>
int main()
{
	short int a, b;
	a = 0x0000;
	b = 0x0001;
	printf( "%d %d ", a, b );
	a = 0xFFFE;
	b = 0xFFFF;
	printf( "%d %d ", a, b );
	a = 0x7FFF;
	b = 0x8000;
	printf( "%d %d\n", a, b );
	return 0;
}</span>

程序的输出均为0 1 -2 -1 32767 -32768。其中前两个数是内存值最小的时候，中间两个数则是内存值最大的时候，最后输出的两个数是正数与负数的分界处。由此你可以清楚地看到计算机是如何储存一个整数的：计算机用$0000到$7FFF依次表示0到32767的数，剩下的$8000到$FFFF依次表示-32768到-1的数。32位有符号整数的储存方式也是类似的。稍加注意你会发现，二进制的第一位是用来表示正负号的，0表示正，1表示负。这里有一个问题：0本来既不是正数，也不是负数，但它占用了$0000的位置，因此有符号的整数类型范围中正数个数比负数少一个。对一个有符号的数进行not运算后，最高位的变化将导致正负颠倒，并且数的绝对值会差1。也就是说，not a实际上等于-a-1。这种整数储存方式叫做“补码”。

二进制中的1有奇数个还是偶数个()

我们可以用下面的代码来计算一个32位整数的二进制中1的个数的奇偶性，当输入数据的二进制表示里有偶数个数字1时程序输出0，有奇数个则输出1。例如，1314520的二进制101000000111011011000中有9个1，则x=1314520时程序输出1。

<span style="font-size: 13px;">#include <stdio.h>
int main()
{
	int a;
	scanf("%d", &a);
	a=a^(a>>1);
	a=a^(a>>2);
	a=a^(a>>4);
	a=a^(a>>8);
	a=a^(a>>16);
	printf("%d",a&1);
}</span>

为了说明上面这段代码的原理，我们还是拿1314520出来说事。1314520的二进制为101000000111011011000，第一次异或操作的结果如下：

00000000000101000000111011011000
XOR0000000000010100000011101101100
—————————————
00000000000111100000100110110100

得到的结果是一个新的二进制数，其中右起第i位上的数表示原数中第i和i+1位上有奇数个1还是偶数个1。比如，最右边那个0表示原数末两位有偶数个1，右起第3位上的1就表示原数的这个位置和前一个位置中有奇数个1。对这个数进行第二次异或的结果如下：

00000000000111100000100110110100
XOR 000000000001111000001001101101
—————————————
00000000000110011000101111011001

结果里的每个1表示原数的该位置及其前面三个位置中共有奇数个1，每个0就表示原数对应的四个位置上共偶数个1。一直做到第五次异或结束后，得到的二进制数的最末位就表示整个32位数里有多少个1，这就是我们最终想要的答案。

计算二进制中的1的个数

同样假设x是一个32位整数。经过下面五次赋值后，x的值就是原数的二进制表示中数字1的个数。

<span style="font-size: 13px;">#include <cstdio>
using namespace std;

int main(){
	int x;
	scanf("%d",&x);
		x = (x&0x55555555) + ((x>>1) & 0x55555555);
		x = (x&0x33333333) + ((x>>2) & 0x33333333);
		x = (x&0x0F0F0F0F) + ((x>>4) & 0x0F0F0F0F);
		x = (x&0x00FF00FF) + ((x>>8) & 0x00FF00FF);
		x = (x&0x0000FFFF) + ((x>>16) & 0x0000FFFF);
	printf("%d\n", x);
}                </span>

为了便于解说，我们下面仅说明这个程序是如何对一个8位整数进行处理的。我们拿数字211来开刀。211的二进制为11010011。

+—+—+—+—+—+—+—+—+
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | <—原数
+—+—+—+—+—+—+—+—+
|1 0|0 1|0 0|1 0| <—第一次运算后
+——-+——-+——-+——-+
|0 0 1 1|0 0 1 0| <—第二次运算后
+—————+—————+
|0 0 0 0 0 1 0 1| <—第三次运算后，得数为5
+——————————-+

整个程序是一个分治的思想。第一次我们把每相邻的两位加起来，得到每两位里1的个数，比如前两位10就表示原数的前两位有2个1。第二次我们继续两两相加，10+01=11，00+10=10，得到的结果是00110010，它表示原数前4位有3个1，末4位有2个1。最后一次我们把0011和0010加起来，得到的就是整个二进制中1的个数。程序中巧妙地使用取位和右移，比如第二行中$33333333的二进制为00110011001100….，用它和x做&运算就相当于以2为单位间隔取数。>>的作用就是让加法运算的相同数位对齐。

二分查找32位整数的前导0个数
程序思想是二分查找

<span style="font-size: 13px;">#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;

int nlz(unsigned x)
{
	int n;

	if (x == 0) return(32);
	n = 1;
	if ((x >> 16) == 0) {n = n +16; x = x <<16;}
	if ((x >> 24) == 0) {n = n + 8; x = x << 8;}
	if ((x >> 28) == 0) {n = n + 4; x = x << 4;}
	if ((x >> 30) == 0) {n = n + 2; x = x << 2;}
	n = n - (x >> 31);
	return n;
}
</span>

只用位运算来取绝对值

假设x为32位整数，则x xor (not (x shr 31) + 1) + x shr 31的结果是x的绝对值
x shr 31是二进制的最高位，它用来表示x的符号。如果它为0（x为正），则not (x shr 31) + 1等于$00000000，异或任何数结果都不变；如果最高位为1（x为负），则not (x shr 31) + 1等于$FFFFFFFF，x异或它相当于所有数位取反，异或完后再加一。

二进制逆序

<span style="font-size: 13px;">#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;

int main()
{
	int x;
	scanf("%d", &x);
	x = (x & 0x55555555) <<  1 | (x & 0xAAAAAAAA) >>  1;
	x = (x & 0x33333333) <<  2 | (x & 0xCCCCCCCC) >>  2;
	x = (x & 0x0F0F0F0F) <<  4 | (x & 0xF0F0F0F0) >>  4;
	x = (x & 0x00FF00FF) <<  8 | (x & 0xFF00FF00) >>  8;
	x = (x & 0x0000FFFF) << 16 | (x & 0xFFFF0000) >> 16;
	printf("%d\n", x);
}</span>

它的原理和刚才求二进制中1的个数那个例题是大致相同的。程序首先交换每相邻两位上的数，以后把互相交换过的数看成一个整体，继续进行以2位为单位、以4位为单位的左右对换操作。我们再次用8位整数211来演示程序执行过程：
+—+—+—+—+—+—+—+—+
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | <—原数
+—+—+—+—+—+—+—+—+
|1 1|1 0|0 0|1 1| <—第一次运算后
+——-+——-+——-+——-+
|1 0 1 1|1 1 0 0| <—第二次运算后
+—————+—————+
|1 1 0 0 1 0 1 1| <—第三次运算后
+——————————-+